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內容簡介：

這是一本通俗的數學史讀物，集結了數學史上那些令人尖叫的閃耀時刻，為讀者展示每一個時刻給人類文明帶來的後果和相互交織的影響。

如果說，數學是上帝給人們的說明書，那這本書就是對說明書的解讀。

歐幾裏得以外的宇宙不是只有三維，

虛數的由來從一段背叛的歷史中產生，

無理數的發現居然來自法老王的挑戰，

自然數0中充滿禪意的虛無解脫了人們對自然數的認識……

數學的浪漫和璀璨，遠遠比你想象中要簡單！

作者簡介：

翁貝托·博塔茲尼（Umberto Bottazzini）

國際知名數學史專家，曾任國際雜誌《數學史》主編。

2002年獲邀在北京第24屆國際數學家大會發表演講

2006年榮獲畢達哥拉斯獎

2015年榮獲數學史領域列昂•艾伯特•懷特曼紀念獎

2017年受邀訪問中國科學院自然科學史研究所

他擅長將對數學的洞察力與對背景和思想史的高度敏感結合在一起，博塔茲尼的諸多著作包含了應用數學中出現的重要基礎性問題，它簡明扼要地抓住了數學家的生活和興趣。 ——2015年列昂•艾伯特•懷特曼紀念獎頒獎詞

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部分摘錄：

刻痕與結繩＞＞

有人聽說過魯濱孫嗎？他是丹尼爾·笛福寫的一部小說《魯濱孫漂流記》裏的英雄。去年（2019年）是這部小說誕生300周年。你們還記得它講了什麽故事嗎？魯濱孫年少時離開了自己出生的城市約克，在非洲海岸經歷了數次驚險的冒險。之後，海員魯濱孫在巴西定居，成了一個甘蔗種植園主，將種植園經營得順風順水。在巴西，只有少數獲得西班牙國王和葡萄牙國王批準擁有奴隸專營權的商人可以進行奴隸貿易，但是他們不可以把奴隸公開販賣給有需要的人。因此，魯濱孫的朋友們——一群種植園主決定出資裝備一條船，前往幾內亞，購買大量的奴隸，偷偷地把他們運到巴西的一個海岸上卸下，然後瓜分。這幫人說服了魯濱孫加入他們。

魯濱孫十分不情願出海購買奴隸。在海上航行了幾周後，他們的船遭遇了一次可怕的暴風雨。船被狂風暴雨裹挾著，幾天後觸了礁，被撞得七零八碎，擱淺在了一座小島附近。魯濱孫上了岸，成了這次海難唯一的幸存者，其他船員則全部遇難。

在那裏待了十天或是十二天之後，我突然想到，我沒有紙筆和墨水，可能會忘記時間，甚至會把休息日和工作日弄混。為了避免這種情況，我把一個樹幹做成十字架的樣子，豎在了自己第一次上岸的地方，用小刀在上面刻下了：我於1659年9月30日這一天在此處上岸。我每天都會在木樁的兩邊刻下劃痕，第七天的刻痕比前面的長一倍。到了每個月的第一天，刻痕也會比前一天的長一倍。如此一來，我有了自己的日歷，或者說是一個計算著周、月、年的記錄柱。

在那一刻，在那片海灘上，身處那個時代的魯濱孫再次發現和使用了一種人類數百萬年前發明的計時方法。20世紀30年代，在摩拉維亞的下維斯特尼采出土了一塊屬於舊石器時代的狼骨，證實了這點。這塊狼骨上有55道刻痕：最開始的25道，被均分成5組，每組5道，最後一道，也就是第25道，比前面的長一倍；接下來的30道刻痕，也被平均分成了6組。刻下這些劃痕的史前人類或許是想數數他羊群裏的羊，以5為基礎的計數極有可能是從手的手指數目獲取的靈感。可是，如果你們問他，他有多少只羊，他是無法回答的。他沒有數字的概念，更沒有可以表達數字的話語。他大概只能給你看看他刻在狼骨上的劃痕，然後說：瞧，這刻痕和我的羊一樣多。當羊群從我面前經過，我照著手指頭，一組一組刻下的。

普羅透斯[1]的做法與此相同。荷馬在《奧德賽》中寫道，普羅透斯通常會“望著所有海豹，指著它們，五只五只地數著，然後躺下睡覺，就像羊群中的牧羊人”。魯濱孫需要計算的可不是羊或海豹，而是周和月，因此他在計算中引用了一個重要的變體。你們也會有同感，如果一個人想要計算時間的流逝，一只手上的五根手指派不上什麽用場。與下維斯特尼采的牧羊人不同，魯濱孫生活在17世紀，他有數字的概念，也知道計算。因此，他遵循基督教歷法，不是在每個第五天，而是在每個第七天都刻一條雙倍長的刻痕，做出的恰恰是糅合了古巴比倫歷的猶太歷[2]。

位於烏幹達和剛果邊境的愛德華湖邊上有一個地方，叫伊桑戈。下維斯特尼采的狼骨出土後，過了大約二十年，在伊桑戈附近發掘出了一塊骨頭，或許是狒狒的一塊小腿骨，大約出現在兩萬年前。和下維斯特尼采的狼骨一樣，伊桑戈骨上也有大量刻痕，共有三列，每列的刻痕又有不同的分組。第一列共有48道，其他兩列分別有60道。關於我們的遠祖智人為什麽刻下這些劃痕，出現了各種各樣的猜想。你們也可以推測一下。比如，每列的刻痕數都是12的倍數，這只是個巧合嗎？其中一列每組的刻痕數為11，13，17和19，都是10到20之間的質數，這也是偶然嗎？有人猜測，如果這些刻痕數與質數沒有什麽更深的關系，那這也許是一種以12為基礎的計量進制，就像我們鐘表的計量系統一樣，這個猜想正確嗎？

或許，刻在勒邦博骨上的29道劃痕顯示的意義更明晰。勒邦博骨也是狒狒的一塊小腿骨，出現在約3.7萬年前，於1973年出土於南非和斯威士蘭之間的勒邦博山脈。有人猜想這塊骨頭上的刻痕有一種儀式的含義，與月相更替周期，也就是兩輪滿月之間的天數有著某種聯系。這種推測確實看起來有道理。當人們在法國南部阿爾卑斯山的一個洞穴裏發掘到一片舊石器晚期（約1.2萬年前）的骨頭時，他們發現，雖然遠隔千裏，相隔萬年，但這片骨頭上也有被分組刻下的29道劃痕，使人不禁聯想到陰歷，怎能不為之驚訝呢？

盧梭稱《魯濱孫漂流記》為“有關自然教育的最貼切之論”。無論如何，當笛福寫這本小說時，他當然不可能知道這些出土文物，可他對另一種類似的計數方法卻有著直接的認識。這種方法在數世紀前被引入英國，在笛福生活的年代仍在使用。

在12世紀，亨利一世規定，財務部在木棍上刻痕以核算國家財政。1855年6月27日，查爾斯·狄更斯在倫敦的行政改革協會發表了一場精彩的演講，他毫不猶豫地稱這種計數方式是“一種原始野蠻的方式”。你們可以想象，財政計算賬目“就像魯濱孫在荒島上計算日子一樣”！這種特別的計數方式是什麽樣的呢？將榆樹枝做成的木棍縱向劈開，兩邊對應著刻上劃痕。根據它們所要表明的數目，如1，10或者100英鎊，或是先令、便士，刻痕間的寬度以及刻痕的深度有所不同。木棍短的一半留在英國銀行，長的一半由借貸人保管。不管哪邊增加還是抹除刻痕，都是很容易看出來的：對應的兩半應該完全吻合一致。只有一邊的話，不作數，也就是當時說的“半道痕（無用）”。這“半道痕”的意義一目了然，也無須多做解釋了。

雖然難以置信，但這種計數制度在英國沿用了好幾個世紀。隨著時間流逝，狄更斯仍在堅持發聲：“無數的會計、書商和保險統計員出生又死去，可官僚還在依賴那些刻了劃痕的小木棍，仿佛那才是憲法的支柱；財政部還在用一些榆樹枝，也就是所謂的計數棒核算收支。”

我們看到魯濱孫在孤島上抱怨沒有紙筆，不得不用過去刻痕的辦法計時。（1913年，詹姆斯·喬伊斯[3]在的裏雅斯特的一場會議上，認為魯濱孫的行為“真實地象征著英國的掠奪，預示著帝國的形成”。從海難中幸存的魯濱孫，口袋裏僅剩一把匕首、一個煙鬥和一包煙草，卻是“真實的英國殖民者的典型模樣”。）笛福所生活的大不列顛並不缺少筆墨紙、黑板和粉筆，更不必說1760年至1820年喬治三世統治的六十年裏。或許是受英國改革影響，一些富有革命精神的人開始思考，是否應該擯棄這種已經落後的中世紀時使用的方法，轉而使用紙筆。可所有官僚，僅僅只是聽到這樣一種“大膽新穎的想法”，就起身反對，諷刺挖苦狄更斯。直到1826年，計數棒制度才最終被廢除。在舉行了一系列會議、簽署了無數備忘錄和公文之後，所有的計數棒都堆積到了威斯敏斯特宮裏。

這些堆積成山的腐朽的小木棍，該怎麽處理呢？狄更斯說得沒錯：最簡單的辦法，也是每一個聰明人自然而然會想到的辦法，就是把它們分給居民區的窮人當作薪柴。然而，負責銷毀計數棒的人沒有這麽做，而是打算在威斯敏斯特宮的小壁爐裏燒毀它們。最終，一個離譜的主意誕生了：在上議院的一個火爐裏偷偷焚毀這些可笑的小木棍，就像魯濱孫計劃偷偷把奴隸運到巴西海岸一樣。只是魯濱孫的計劃埋葬在大海裏，而這個荒唐的辦法則葬身在火海之中。1834年10月16日的夜晚，火焰從塞滿了一車木棒的火爐裏，躥上墻上的掛毯和木制覆蓋物。很快，火勢從上議院蔓延到下議院，最終整個議會大廈在這場世紀大火中化為灰燼。威廉·透納[4]在泰晤士河邊目睹了這一幕之後，創作了一幅畫，描繪的正是這場大火[5]。

這種計數棒制度在其他國家也得了廣泛的運用，只是最後的下場沒這麽慘烈。在《米歇爾·朗德：羅馬歷史》（1949年）一書中，安德烈·菲利普講述說，19世紀中期前後，在法國聖艾蒂安城的鄉村裏，面包店老板還會用計數棒計算賒出去的面包數量。每到月底，婦女們會帶著一根小木棒去面包店清賬，木棒上有被銼刀刻出的劃痕。面包店老板通常會用一根皮帶把木棒穿起來，他會對比顧客手上的木棒與自己手中持有的副本。如果劃痕相符，顧客就可以清賬，然後丟掉木棒。當時的人們是如此依賴於使用計數棒，1804年頒布的《拿破侖法典》第1333條甚至規定：“如果主體利用刻痕來明確表示自己供應或購買的物品，那麽只有正副本上的刻痕數量相符，才具有效力。”到了19世紀末，愛德華·盧卡斯[6]在他的《數字理論》（1891年）中，也把面包師傅的計數棒和在遠古洞穴中發現的刻有規律劃痕的骨頭做比較，以表明不只有法國鄉村的面包師傅會使用刻痕計數。

這種在小木棍上刻痕以記錄借貸數目的方式，不僅存在於瑞士、德國和俄國，還有意大利。路易吉·卡普安納在小說《棺材》中也提到了這點。現在，我們來到19世紀下半葉，西西裏的米內奧市。

有一天，科拉·納斯卡推著小車來了，想一次性倒空聖弗朗切斯科的酒桶。唐納·薩爾瓦特麗切天蒙蒙亮時就在店裏了。她坐在拐角處，旁邊是酒桶，一手拿著用來刻痕的木棍，一手拿著一把不值錢的鐵柄小刀，以防哪個騙子偷竊。每倒滿十六壺，她就在光滑的木棍上刻一道痕。木棍被一分為二，一半給納斯卡，這樣一來，他們就不會出錯了。

但是，可憐的唐納·薩爾瓦特麗切沒法完成全部的操作了。她突然面色蒼白，瞪大雙眼，從椅子上跌落下來。她的動脈破裂了，而作為小說名字的“棺材”無疑成了她的最終歸宿。直到20世紀中期，在西西裏（還有阿普利亞和卡拉布裏亞大區）一些地區的農民和店家似乎仍在沿用卡普安納所講述的這種方法，他們甚至有一句方言“arrumpirilitagghi（毀掉劃痕）”，意思是清賬。德語中也有和這句差不多的話，如果“Kerbholz”指的是刻有劃痕的小木棍，那麽“etwas auf dem Kerbholz haben（字面意思是木上有刻痕）”指的就是有未付清的賬，通常是為了保證公平。說到意為“保證公平”的習語，“mettere una taglia（刻一道痕）”似乎也來源於這種實踐。

目前據人們所知，當歐洲廣泛采用這種計數棒制度時，世界的另一端使用的卻是其他計數方法。例如，秘魯古代印加人用一種叫作“奇普（quipus）”的繩結計算各種事物，計量天文、巫術或者日常生活。根據編年史和發現的圖像，人們發現，印加人使用一種叫作“優巴納（yupana）”的算盤，在上面堆放、挪動種子進行計算，再將結果編結於奇普上。

費利普·瓜曼·波馬·德·阿雅拉是一位出身貴族、皈依天主教的土著。他撰寫的巨著《新編歷史和好政府》為我們展現了印加風俗與文明，這部一千多頁的手稿現存於哥本哈根的丹麥皇家圖書館。閱讀這本書，我們就會知道，在西班牙人入侵印加帝國之後，仍保留了“奇普專員（quipucamayoc）”這個職位一段時間。奇普專員是印加帝國設立的負責編結和譯解奇普的人員。然而，為了讓當地人信仰基督教，西班牙政府決定解除奇普專員的公共職務，也毀掉所有奇普（幸好不是全部！），因為他們認為奇普是偶像崇拜的工具。

在《馬可·波羅遊記》中，我們會發現中國人民也采用了一種和印加人民類似的方法，並且沿用了數個世紀。中國最古老的文獻之一《易經》中說“上古結繩而治”。這裏的繩就像秘魯的奇普。據希羅多德[7]說，波斯國在大流士一世統治時期就已經在使用這種結繩了。

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